Studiò nelle scuole comunali di Verona e successivamente da autodidatta. Per la matematica, fu allievo di Antonio Cagnoli (1743-1816), amico di famiglia. Nel 1790 ottenne a Padova l’abilitazione a perito agrimensore e ricevette il titolo di ingegnere comunale. Tra i suoi incarichi vi fu la riedificazione della facciata neoclassica della chiesa dei Ss. Pietro e Paolo Apostoli di Isola Rizza (Porcarizza) nel veronese. Lavorò anche alla chiesa parrocchiale di Cà Bianca nel bolognese e alla chiesa di Ala nel Tirolo, ma gli avvenimenti politici ne impedirono la realizzazione. Sul viaggio a Cipro, dove Tramontini avrebbe dovuto recarsi per assumere le funzioni di viceconsole della Repubblica di Venezia, si hanno diverse versioni. Secondo Bernardi (1856) la missione non ebbe seguito a causa della caduta della Repubblica, secondo Fasanari (1950) Tramontini si recò effettivamente a Cipro e, alla caduta della Repubblica, tornò a Verona.
Pochi giorni dopo la proclamazione della repubblica (27 luglio 1797), fu decisa dal Direttorio esecutivo della Repubblica Cisalpina l’apertura di una scuola militare del genio e dell’artiglieria. La sede inizialmente doveva essere Bologna, poi fu deciso per Modena. La scuola era finalizzata alla formazione dei quadri dei corpi degli artiglieri e del genio ed era strutturata secondo il modello dell’École Polytechnique, e forniva una preparazione sia teorica che pratica per l’ingresso diretto nella milizia attiva. Su proposta di Leonardo Salimbeni, Tramontini fu chiamato a insegnarvi disegno geometrico. Come ad altri patrioti veneti costretti ad abbandonare il loro paese occupato dagli austriaci, gli fu concessa anche la cittadinanza.
La figura di Giuseppe Tramontini ha caratterizzato l’insegnamento della geometria descrittiva a Modena nella prima metà del XIX secolo. Fu anche autore di un poderoso trattato che servì come libro di testo, Delle projezioni grafiche e delle loro principali applicazioni, trattato teorico-pratico ad uso della R. Scuola militare del genio e dell’artiglieria come ancora di tutti i giovani architetti ed ingegneri civili (Modena 1811). Tramontini fu anche membro della Reale Accademia di scienze, lettere ed arti di Modena, sulla cui rivista uscirono alcuni suoi lavori.
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